歴史的背景
ニュートンとライプニッツによって創設された微分積分学は、その根底において無限小（どんな正の数よりも小さな正の数）や無限大（どんな数よりも大きな数）といった実数の範囲では定義できない概念を使っており、この状況は18世紀に入ってオイラーらによって微分積分学が大きな発展を遂げるようになっても改善されなかった。級数の発散や収束に関する議論には無頓着なままで理論を発展させていったため、誤った結論に導かれてしまうことがしばしばあった。19世紀に入ってコーシーやボルツァーノらによって微分積分学をしっかりとした基盤の上に再構築しようとする試みがなされ、収束や連続はよりはっきりと捉えられるようになったが、しかし連続と一様連続の区別はなかったためにコーシーは自著の中でそのことに起因する誤りをおかしている。コーシーは関数の連続性を無限小を使って定義したが、無限小概念でうまくいかない場合には、『解析教程』(Cours d'analyse de l'Ecole royale polytechnique) におけるように、ε-δ 論法の形で不等式を使って基礎づけを行うこともあった。ε-δ 論法は1860年代のカール・ワイエルシュトラスの講義によって完成されたもので、これによって無限小や無限大という概念を一切出さずに収束・連続を議論できるようになった。
なお、ライプニッツ流の無限小・無限大を用いる解析も現代では超実数を用いることで正当化されている。これに関連する事柄は、超準解析（Non-standard analysis または古典的に無限小解析 Infinitesimal analysis とも呼ばれる）という分野で研究されている。
上記をまとめると…
| 「無限小」「無限大」 | → | ε-δ論法 |
| 実数の範囲では定義できない概念 | → | 実数の範囲で |
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ニュートン | 微分積分学を創設。「無限小」や「無限大」といった概念を使用 実数の範囲では定義できない |
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ライプニッツ | 同上 |
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オイラー | 改善されず… |
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コーシー | 関数の連続性を「無限小」を使って定義。 無限小概念でうまくいかない場合には、ε-δ論法の形で不等式を使って基礎づけ。 |
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ワイエルシュトラス | ε-δ論法、完成。 |
(写真はWikipediaより)
